Historia de la ecuación de tercer grado

Historia de la ecuación de tercer grado

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EXAMEN FINAL DE MATEMATICAS APLICADAS

1.- FOTOGRAFÍA. La fortuna quiere redimensionar una fotografía de 4 pulgadas de ancho por 5 pulgadas de largo, para el periódico del colegio. Es para encajarla en un espacio que es dos pulgadas más ancho.

                 

                                     

2.- SOMBRAS. Un palo de bandera da una sombra de 20 pies. Al mismo tiempo, Humberto, que mide 6 pies de alto, da una sombrea de 5 pies. ¿Cuál es la altura del palo de la bandera? Cuenta con que los triángulos son similares.

3.- PARQUES. Ruth está de pie en el parque cerca de un tobogán. Ruth mide 5 pies de alta y su sombra es cuatro pies de larga. Si la sombra del tobogán es de 4.8 pies de larga, ¿cuál es la altura del tobogán? Se supone que los triángulos son iguales.

4.- Horacio mide 6 pies de alto y da una sombra de 3 pies de largo. ¿Cuál es la altura de una torre cercana si esta da una sombra de 25 pies de largo al mismo tiempo?

5.- MUEBLES. La mesa de un niño está hecha de forma que es una réplica de una mesa del tamaño de un adulto. Supongamos que la parte de arriba de la mesa mide 54 pulgadas de largo por 36 pulgadas de ancho. Si la parte de arriba de la mesa del niño tiene 24 pulgadas de ancho y es similar a una mesa de tamaño normal, ¿cuál es la largura?

LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES

LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES

1.  Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.

2. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos. 

GeoGebra

                         
          f (x) = x²  - 6x + 9

       g (x) = -x² + 9x + 9

IDEA FELIZ

3.- c)

             (-2x+1)² -3 = 13

          (1 - 2x)² - 3 = 13             * Propiedad conmutativa para reorganizar términos

          1 - 4x + 4x² - 3 = 13       * Desarrollar operación

          -2 - 4x + 4x² = 13           * Calcular

          -2 - 4x + 4x² - 13 = 0      * Propiedad conmutativa para reorganizar términos

          4x² - 4x -15 = 0              * - 4x como una diferencia

     Factorizar 2x →  4x² + 6x - 10x - 15 = 0     ←  Factorizar -5

    Factorizar 2x + 3 →  2x  (2x + 3) - 5 (2x + 3) = 0

            (2x + 3) . (2x - 5) = 0     * En el producto de los factores = 0, al menos un                                                                                              factor es 0

          2x + 3 = 0                         
         
          2x - 5 = 0

          x = - 3/2

          x= 5/2


         

INFINITO

El concepto de infinito (símbolo: ∞) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, ​ en referencia a una cantidad sin límite o sin final.

En matématicas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos, o límites al infinito; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.

Sus orígenes son inciertos. Dado que la forma se asemeja a la curva lemniscata (del latín lemniscus, es decir cinta), se ha sugerido que representa un lazo cerrado.

El símbolo ${\displaystyle \infty }$ con que se expresa el infinito fue introducido a la notación matemática por el matemático inglés John Wallis (1616-1703) en una de sus obras más importantes: Aritmética Infinitorum en 1656.El símbolo de infinito se parece a la curva lemniscata. No está claro cuál es su origen, aunque se cree que podría proceder de símbolos religiosos o alquímicos muy antiguos.

El símbolo de infinito se representa en Unicode con el carácter ∞ (U+221E).

En el lenguaje cotidiano, la utilización del concepto de infinito no implica necesariamente algo sin final, sino que puede utilizarse para referirse a algo que se presenta en gran número o cuyas dimensiones son muy considerables.

Cronología​

Año	Acontecimiento
350 a.C.	Aristóteles rechaza un infinito real.
1639	Gérard Desargues introduce la idea del infinito en la geometría.
1655	Se atribuye a John Wallis haber sido el primero en utilizar el símbolo ${\displaystyle {\infty }}$ para el infinito.
1874	Georg Cantor especifíca, en la teoría de conjuntos, distintos órdenes de infinito.

Símbolo de infinito

** Fuente: Wikipedia

Álvaro Valverde García - 3º D

FÓRMULA DEL ÁREA DE GAUSS

Johann Carl Friedrich Gauss  (1777 - 1855) fue un matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, el magnetismo y la óptica. Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

La Fórmula del área de Gauss, Fórmula de la Lazada o Algoritmo de la Lazada, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un polígono simple cuyos vértices están descritos como pares de coordenadas en el plano.

Explicación del nombre

La razón por la que esta fórmula es llamada fórmula de la lazada es debido a un método común para evaluarla empleando matrices. Por ejemplo, dado el triángulo con vértices (2,4), (3,−8), y (1,2), es posible construir la siguiente matriz apilando las coordenadas y repitiendo el primer vértice al final de la matriz.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}

Ahora, dibuje diagonales hacia abajo y a la derecha...

y multiplique cada par de números conectados por un trazo, y luego sume todos los productos: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6.

Repita lo mismo con trazos diagonales hacia abajo y la izquierda...

  

obteniendo (4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Finalmente, calcule la diferencia entre ambos números y tome su valor absoluto: |−6 − 8| = 14. Dividiendo entre dos, obtendrá el área del triángulo: 7.

Organizar los números de esta forma hace más sencillo recordar y evaluar la fórmula. Tras dibujar todos los trazos, la matriz se asemeja al cordón de una zapatilla.

       * Información extraída de Wikipedia

Álvaro Valverde García - 3º D

                                   EPITAFIO DE DIOFANTO

En esta tumba reposa Diofanto. ¡Ah, qué gran maravilla! La tumba cuenta científicamente la medida de su vida. Dios le concedió ser un muchacho durante la sexta parte de su vida, y añadiendo una doceava parte a ésta, revistió su mejilla de pelusa. Encendió la luz del connubio pasada una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio le dio un hijo. ¡Ay! ¡Desdichado hijo tardío! Después de consolar su pena mediante el estudio de los números durante cuatro años, Diofanto terminó su vida.

La respuesta es 84 años de edad (aunque ello no esté acreditado desde un punto de vista histórico). Los cálculos son los siguientes (siendo x la edad de Diofanto):X = 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4

inf obtenida de :https://www.xatakaciencia.com/quiz-genciencia/el-acertijo-matematico-en-el-epitafio-de-diofanto

GUIÓN RADIO 1

PRIMERA PARTE

j: ¿Conoces la divisibilidad? Pues si no es así, hoy os la vamos a enseñar aquí.

Primero, repasemos los múltiplos y divisores, después nos adentraremos en los números primos y os propondremos una conjetura.

Gala: Los múltiplos de un número son las tablas de multiplicar de dicho número. ¿Conoces las tablas de multiplicar, verdad?

Johan: Sí, claro. (Tarareando, 7.1=7, 7.2=14………7.7=49)

Gala: Vale, vale, ya sabemos que te has aprendido la tabla del 7, y la demostración hecha ha sido con los primeros múltiplos de 7.

Johan: Ja, ja, y ¿qué es un divisor?

Gala: Muy fácil, si 49 es múltiple de 7, decimos que 7 es divisor de 49. También podemos decir que 7 divide a 49 y también que 49 es divisible por 7. Y todavía hay una manera más de decir lo mismo: 7 es factor de 49.

Johan: Ahhhh, y ¿todo esto tiene que ver con los números primos?

Gala: Claro que sí, un número primo es aquel que sólo tiene 2 divisores, 1 y él mismo. Ahora si has prestado atención, responde este (Johan piensa…) ¿Es 6 múltiplo de un número primo?

Johan: No, porque tiene más de dos divisores, por ejemplo, el 2 y el 3.

Gala: Vamos a terminar esta sección contándoos la “conjetura de Goldbach”.

Johan: Pero, ¿qué es una conjetura?

Gala: Es una afirmación que se sabe si es verdadera o falsa.

Johan: Y ¿qué dice entonces la conjetura de Goldbach?

Gala: Dice que cualquier número por mayor que dos, se descompone como suma de dos números primos.

SEGUNDA PARTE  -  CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Gala: ¿Cómo sabemos si un número es divisible por otro?

Johan: Del 2, del 5 y del 10. Pues aplicando los criterios de divisibilidad. Por ejemplo: si termina en 0 o en 5, este es múltiplo de 5, si termina en 0 o en múltiplo de 2, este es múltiplo de 2. Y si termina en 0 este es múltiplo de 10. Lo único que hay que hacer es mirar la cifra de las unidades.

La del 4 y del 8:

Si sus 2 últimas cifras son 00 o múltiplo de 4, es múltiplo de 4.

Si sus 3 últimas cifras son 000 o múltiplo de 8, es múltiplo de 8.

Lo único que hay que hacer es mirar la cifra de las unidades.

La del 3 y del 9:

Si la suma de todas sus cifras da un múltiplo de 3, entonces es un múltiplo de 3.

Si la suma de todas sus cifras da un múltiplo de 9, lo único que hay que hacer es sumar las  cifras de las unidades.

La del 6:

Si el número es divisible entre 2 y 3, lo único que hay que hacer es ver si la cifra es divisible por 2 o por 3.

La del 7: 

Es este caso, sí tenemos una cifra, hay que coger la última, multiplicamos esa última cifra por 2 y se resta al resto de números.

Lo único que hay que hacer, es coger la última cifra, multiplicarla y luego se resta a las cifras sobrantes.

Y ¿ahora lo comprendes?

Gala: Si, muchas gracias, ahora ya lo comprendo.

TERCERA PARTE

Johan: Los criterios de divisibilidad que hemos explicado en la sección anterior, son en algunos casos, muy largos si el número es muy grande. Existen otros tipos de criterios de divisibilidad de un número que utilizan un grafo dirigido.

Gala: ¿Qué es un grafo?

Johan: Un grafo está formado por vértices y aristas y si las aristas son flechas, entonces los llamamos dirigidos. Mira, aquí tienes uno.

Gala: ¿Y cómo les explicamos esto a nuestros oyentes?

Johan: En la radio es imposible mostrar una imagen, pero os animamos a buscarlo en internet. Aquí tengo el grafo de divisibilidad del 7, y lo vamos a utilizar para averiguar si un número es múltiplo de siete. ¡Venga Gala, dime un número!

Gala: Vale, el 153.

Johan: Comprobando el grafo de divisibilidad del 7, llegamos a la conclusión que el número 153 no es divisor de 7.

Gala: Aquí tengo también el grafo del 23 que vamos a utilizar para adivinar la letra del DNI.

Johan: Tomamos el número del DNI, de 8 cifras, lo dividimos entre 23 y nos quedamos con el resto de dicha división. Después buscamos ese resto en la siguiente tabla y tomamos la letra que le corresponda:

      Si queréis, podéis comprobarlo con vuestro propio DNI. ¿Que no tenéis ganas de dividir entre 23? Usad calculadora… Ups, pero la calculadora, normalmente, no muestra el resto de la división, ¿verdad? No hay problema: dividís vuestro número de DNI entre 23, le quitáis los decimales al resultado, multiplicáis lo que os quede por 23 y le restáis lo que os dé a vuestro número de DNI, y ya tenéis el resto. Veamos un ejemplo con el número 34567890:

34567890/23 = 1502951’7391…

1502951 · 23 = 34567873

34567890 – 34567873 = 17

     Miramos en la tabla anterior y vemos que, como el resto es 17, al número 34567890 le corresponde la letra V.

Gala: Y, para terminar, os animamos a participar en el concurso de “Enigmas Matemáticos” que patrocina el AMPA, cuyo problema se resuelve aplicando los criterios de divisibilidad.

DECIMALES  EXACTOS

Un decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

Por ejemplo, al dividir 197: 40 obtenemos 4,925 (tres cifras decimales)

DECIMALES  PERIÓDICOS  PUROS

Un decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que se repiten periodicamente. Si el periodo empieza inmediatamente despues de la coma se llama decimal periódico puro.

Por ejemplo, al dividir 86:11 obtenemos 7,8181...=7,81

DECIMALES PERIODICOS MIXTOS

Si en un decimal periodico hay una o varias cifras no periodicas entre la comay el periodo, el numero se llama periodico mixto.

Por ejemplo, al dividir 87:66 obtenemos 1,31818...=1,318

DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS

Existe otro tipo de números decimales que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Se llaman números irracionales.

Por ejemplo, al calcular la raiz cuadrada de 2, obtenemos 1,4142135....
                     el número pi es igual a 3,14159265...